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一、变量与函数
1.在一个具体问题中，我们把变化莫测的量称为变量，恒定不变的量称为常量。通常情况下，一个问题中可能涉及到几个变量，有的变量的变化会引起另外的变量发生改变，它们的变化有主动和被动之分，或者可以认为在时间上有先后之分。我们通常把主动变化的变量叫做自变量，因为自变量发生变化才被迫改变的变量称为因变量。
2.函数一次由清代数学家李善兰翻译而来，函数作为一个名词，它描述的是自变量与因变量之间的关系，即对于每一个给定的自变量，都有一个唯一、确定的因变量与之对应，那我们就说因变量是关于自变量的函数。通常情况下，自变量用x表示，因变量用y表示，但也有例外。大多数人对于函数的理解而言都是困难的，晏老师把函数比喻成一个加工数字的机器，对于给定的每一个数字，都会加工得到产品，并且这个产品还是唯一、确定的，这就是函数的概念。
3.函数还可以进行分类，初中阶段我们主要学习一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数。
二、函数的三种表示方法
要表示一个函数，通常情况下有三种方法：
1.解析式法：在有些地方，这个方法也被称为“关系式法”，在写函数的解析式的时候，一定要写成一个等式，并且等号的左边只能是单独的一个字母，这个字母就是因变量，等号的右边是一个含有自变量的代数式。在某些实际问题中，写出了函数解析式还不够，还要根据具体情况写出自变量的取值范围，并且写自变量的取值范围时，能不能取等号是需要慎重考虑的细节。
2.表格法：函数是用来描述两个变量之间的关系的一个名词，我们当然可以用一个表格来表示一个函数，不过列表时要注意以下几个细节：
①表格有两行，第一行用来表示自变量，第二行用来表示因变量；
②根据实际情况决策，表格的两端是否要有省略号，表示变量取之不尽；
③数量上一般要取5至8对数据最为合适，要有均衡之美、对称之美；
3.图像法：我们可以借助坐标系画一个图像来表示一个函数，画函数图像可以按照列表、描点、连线三步走的战略进行，连线时，除非知道图像是直线因而可以使用直尺外，需要使用平滑的曲线来连接。画完之后，一定要注意检查，该标记的内容是否全部标注了，若有遗漏，会被扣分。最困难的是，某些实际问题中，函数图像画好以后，要根据自变量的取值范围适当地抹去一些部分，考虑清楚端点是空心还是实心。
分析函数的解析式、表格、图像时，一定要注意使用数形结合思想。
三、正比例函数
1.我们把形如y=kx（其中k为常数且k≠0）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数。可以看到，正比例函数的解析式中，等式的右边是一个关于自变量的一次单项式，其中这个k可以是一个数字，也可以一个整体（式子），当比例系数是一个整体的时候，要特别注意这个整体中参数的取值范围。
2.正比例函数的图像是一条经过坐标原点直线，并且还一定经过(1,k)这个定点，也就是说它经过两个定点，由这个两个定点，我们可以快速的画出一个正比例函数的图像。
3.正比例函数的比例系数，对函数的图像起着决定作用。如果k是一个正数，那么此正比例函数图像必然是一条经过原点和一、三象限的直线，从左到右呈现上升的趋势，y随着x的增大而增大；如果k是一个负数，那么此正比例函数图像必然是一条经过原点和二、四象限的直线，从左到右呈现下降的趋势，y随着x的增大而减小。
介于正比例函数的图像有以上性质，晏老师专门写了一副对联来形容正比例函数这个性质，上联是“k正一三上”，下联为“k负二四下”，横批为“过两定点”。
四、一次函数
1.我们把形如y=kx+b的函数称为一次函数，其中k,b是常数，且k≠0，当b=0是，一次函数就变成了y=kx，所以说，正比例函数只是一次函数的一种特殊情况而已，就像直角三角形是三角形的一种特殊情况一样。
2.一次函数y=kx+b的图像也是一条直线，其中k控制着直线的方向，如若k为正数，那么图像从左到右呈现上升趋势，如若k为负数，则图像从左到右呈现下降的趋势。而解析式中的b控制着函数与y轴的交点，b为正，函数图像与y轴相交在正半轴，b为负，则交点在y轴负半轴，b为零，则函数图像与y轴交点在原点处，因此，只需要弄清楚一次函数的k和b，就能快速的画出它的草图，再使用数形结合的思想方法，便可解决诸多问题。
3.一次函数y=kx+b可以看成是正比例函数y=kx向上或向下平移|b|个单位长度而得的，具体平移的方向要看b的符号来决定。其实函数图像的平移，遵循“上加下减，左加右减”的法则，上下由纵坐标y控制，左右由横坐标x控制，因此到底是在谁的基础上做加减，一定要区分清楚。
4.求函数解析式，通常使用待定系数法，它包含设出形式，列出方程，解得参数，写解析式四个步骤。
5.一次函数与不等式、方程有着紧密联系：解决这类问题，我们要充分地利用数形结合思想，把它们联系、统一起来，解决问题时，要根据具体情况灵活地把它们结合起来综合考虑。
五、函数与生活
1.使用函数解决生活中的实际问题时，关键在于分析问题中的变量之间的对应关系，并考虑如何表示这种关系，从而将实际问题转化为函数模型，再加以解决。
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